23. júna 1993 na matematickej konferencii v Cambridge predložil britský matematik Andrew Wiles prvý dôkaz Veľkej Fermatovej vety. Zavládlo tam všeobecné vzrušenie, veď na tento dôkaz, ktorý trápil matematiku i matematikov sa čakalo viac ako tri storočia.
Matematika je kráľovná vied. Pomocou nej dokážeme vysvetliť makrosvet i mikrosvet, ona stojí za celým pokrokom vedy a techniky a zanecháva svoju stopu v každej oblasti života. Bez matematiky by sme dodnes liezli po stromoch, neexistovala by žiadna civilizácia. Bez nej by nebola veda, výskum, vývoj ani výroba a ani žiadna pridaná hodnota. Ak sa chceme presadiť v medzinárodnej ekonomike, musíme mať viac matematikov, informatikov a technických inžinierov. Bez nich nikdy nebudeme konkurencieschopní. Bolo by treba zvýšiť počet učiteľov a hodín matematiky na základných a stredných školách, zaviesť povinnú maturitu z matematiky, študentom na vysokých školách technického zamerania zvýšiť štipendiá a po skončení školy im vytvoriť primerané pracovné a platové podmienky. Všade na svete to už pochopili, dúfajme, že to pochopia i zodpovední politici na Slovensku.
Pierre de Fermat sa narodil 17. augusta 1601 vo francúzskom mestečku Beaumont-de-Lomagne v obchodníckej rodine. Študoval právo na univerzite v Toulouse a prakticky celý svoj život pracoval ako súdny úradník. Vo voľnom čase sa venoval matematike. Publikoval práce v teórii čísiel, analytickej geometrii a spolu s B.Pascalom sa stal zakladateľom teórie pravdepodobnosti. Je príjemné zistiť, že existoval prinajmenšom jeden právnik, ktorý v živote urobil aj niečo užitočné. Zomrel dňa 12. januára 1665.
Veľká Fermatova veta patrí medzi najslávnejšie vety v dejinách matematiky a Fermat ju sformuloval v roku 1637. Ak si zoberieme trojicu čísiel x, y a z, existuje nekonečne veľa riešení rovnice x + y = z. Ak použijeme druhé mocniny týchto čísiel, takisto nájdeme nekonečne veľa riešení. Ide o známu Pytaghorovu vetu. Riešením je napr. trojica čísiel 3, 4 a 5 . Potom pre druhé mocniny platí (3×3)+(4×4)=(5×5), alebo: 9+16=25. Fermat tvrdil, že neexistuje trojica čísiel, ktoré by spĺňali uvedenú rovnicu pre tretie, štvrté, piate a vyššie mocniny až donekonečna. Uvedenú rovnicu spĺňajú len prvé a druhé mocniny a žiadne iné.
Jednoducho povedané, ale ťažko dokázateľné. Postupne bolo dokázané, že neexistuje riešenie pre tretie mocniny, štvrté, piate, šieste ……, nie presne v tomto poradí, ale všetky tieto riešenia boli len parciálne. Bolo treba dokázať vetu pre ostatné, vyššie mocniny až donekonečna a s tým si viac ako 350 rokov nikto nevedel rady. Všetci veľkí matematici si na tomto probléme vylámali zuby. Obrat nastal až v roku 1984.
Na jeseň 1984 sa konalo v malom nemeckom meste Oberwolfach matematické sympózium o eliptických rovniciach. Jedným z rečníkov bol nemecký matematik Gerhard Frey. Ten napísal na tabuľu tvar Veľkej Fermatovej vety a potom ho niekoľkými matematickými úpravami previedol na tvar eliptickej rovnice. Inými slovami dokázal, že Fermatova rovnica patrí medzi eliptické rovnice. Medzi prítomnými vypuklo nadšenie, uvedomili si totiž, že sa tu otvorila cesta k dôkazu Veľkej Fermatovej vety. To sa ale musíme vrátiť trošku späť do histórie.
Na matematickej konferencii v Tókiu v roku 1955 vystúpil mladý japonský matematik Yutaka Tanijama a poukázal na zaujímavý vzťah medzi dvomi odlišnými matematickými štruktúrami a to medzi modulárnymi formami a eliptickými rovnicami. Nie je cieľom tohto článku vysvetliť podstatu týchto štruktúr, stačí si len uvedomiť, že tam existuje vzájomný vzťah. Na sympóziu sa Tanijama zoznámil s ďalším mladým matematikom Goro Shimurom. Obaja si ľudsky i osobnostne sadli a začali pracovať spoločne. Preverili stovky modulárnych foriem a ku každej našli príslušnú eliptickú rovnicu.
Spoločne publikovali prácu, v ktorej vyslovili tzv. Tanijama – Shimurovu domnienku. Tá znie: „Každej špecifickej eliptickej rovnici prislúcha špecifická modulárna forma“. Zostala úloha dokázať to pre všetky modulárne formy a eliptické rovnice. Toho sa však už Tanijama nedožil, lebo v záchvate depresie spáchal 17. novembra 1958 samovraždu. Goro Shimura zomrel 3. mája 2019 vo veku 89 rokov.
V roku 1984 si po Freyovom referáte matematici (poznajúc Tanijama – Shimurovu domnienku) uvedomili, že teraz sa konečne naskytla možnosť dokázať Veľkú Fermatovu vetu. Bolo treba vykonať len tieto dva kroky: 1.Dokázať platnosť Tanijama – Shimurovej domnienky 2.Priradiť Fermatovej eliptickej rovnici príslušnú modulárnu formu. Ak by sa modulárna forma našla, Veľká Fermatova veta neplatí a ak by sa nenašla, tak Fermatova eliptická rovnica nemá riešenie a Veľká Fermatova veta platí a je dokázaná. (Modulárne formy totiž možno priradiť len k tým eliptickým rovniciam, ktoré majú riešenie.)
A toto všetko dokázal Andrew Wiles. Narodil sa 11. apríla 1953, študoval v Oxforde, pôsobil v Cambridge i na Princetone. Celý život sa venoval eliptickým rovniciam a mal teda teoretické predpoklady dokázať Veľkú Fermatovu vetu. Pracoval na tom 7 rokov a dôkaz predložil v júni 1993. Avšak počas niekoľkých týždňov, keď bol dôkaz vedeckou komunitou overovaný, sa prišlo na závažnú chybu. Zdalo sa, že všetko je stratené. Wiles sa však nevzdal a spolu so svojim študentom R.Taylorom celý dôkaz prepracoval a chybu odstránil. Opravený dôkaz bol publikovaný v septembri 1994 a tentokrát bol definitívne uznaný ako správny. Tento dôkaz má viac ako 200 strán a obsahuje veľké množstvo technicky náročnej a vyspelej matematiky. Wiles za to získal nespočetné množstvo ocenení, medzi inými aj Abelovu cenu (2016), čo je v matematike ekvivalentom Nobelovej ceny.
Tanijama – Shimurova domnienka bola prvá, ktorá dala do vzájomnej súvislosti dve rôzne, navonok navzájom nesúvisiace matematické štruktúry. Odvtedy sa našlo viac podobných príkladov, čo umožnilo rýchly rozvoj niektorých oblastí matematiky a ich hlbšie pochopenie. Dokonca vznikol cielený matematický program (Langlandsov program), ktorý takéto súvislosti aktívne vyhľadáva. Pomenovaný je podľa kanadského matematika Róberta Langlandsa, iniciátora tohto projektu a úspešne sa do neho zapája čoraz viac matematikov.
Je samozrejme, že týmto sa vývoj matematiky neuzavrel, ale existujú ďalšie veľké výzvy. V roku 2000 usporiadal Clayov inštitút pri Harvardskej univerzite matematický kongres, na ktorom bolo vyhlásených sedem najdôležitejších nevyriešených problémov súčasnej matematiky. Za vyriešenie každého z nich bola vypísaná odmena jeden milión amerických dolárov a ponuka stále platí. Za najvýznamnejší zo všetkých je považovaný dôkaz Riemannovej hypotézy a čakáme naň už 165 rokov. Možno, že si o Riemannovej hypotéze povieme niečo nabudúce.
Miroslav Súkeník, Magdaléna Súkeníková
